【考点直击】直角三角形存在性问题

新东方网>广州新东方学校>中小学频道>小学六年级>正文

【考点直击】直角三角形存在性问题

2016-01-28 14:16

来源：

作者：

分享到

直角三角形存在性问题

广州新东方优能中学一对一初小数学教师：张玉

“

存在性问题往往背景复杂，涉及知识广泛，是中考数学中的一类常见的综合性问题．这类问题不仅仅考查学生应用知识的能力，还对学生在不同情境中提取信息、作图、分析、设计方案的能力有较高的要求。

考题类型——存在性问题是探讨是否存在点，使其满足某种特殊关系或图形状态的问题．常以函数为背景，结合动点、动线，考查分类、画图、建等式计算，大致可分为两类：图形状态（平行、垂直、角度定值、线段倍分、面积成比例等；等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、梯形等）和图形间关系（全等三角形、相似三角形等）。

考情直击——其中直角三角形的存在性问题在2012年广州市中考、2012云南省中考、2011河南省中考、2013年攀枝花市中考、2014年广东省中考、2013年湛江市中考、2014年襄阳市中都有不同程度的考核，从题目背景来看直角三角形的存在性问题主要分为以下两类：

（一）以二次函数为背景

例如，2012云南省中考的第23题：“如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1/3 x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=-1/2 x^2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．”

对于第三问，首先要以△MAB的三个顶点A、B、M分别为直角顶点进行分类讨论，找点M时则可以按照“两垂直一圆”来找出点M的位置，需要注意的是点M既可以在x轴上，也可以在y轴上，所以分类讨论时要注意不要遗漏，分类要更细致些．在求解点M坐标时，要根据题目的具体情况选择合适的方法进行求解，通常构造相似三角形是不错的选择．例如，“当点M在x轴上，且BM⊥AB时”可以作BD⊥x轴，然后Rt△PBD和Rt△BDM就构成了“母子相似型”这一常见结构，进而求出点M坐标；“当点M在x轴上，且BM⊥AM时”，可以作BD⊥x轴，然后Rt△AOM和Rt△MDB就构成了“三垂直”这一常见结构，进而求出点M坐标．

因此，以二次函数为背景的题目中，要以先找点、后求点为主要逻辑，根据直角确定分类标准——分别以定点和动点作为直角顶点进行分类；找所求点时按照“两垂直一圆”进行查找；求所求点坐标时，以相似三角形为主要着手点，通过构造“母子相似型”或者“三垂直模型”等常见相似模型来求解出点坐标．（详解见文后）

（二）以一般几何图形为背景

例如，2009年嘉兴市中考的第24题“如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x ．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值．（3）探究：△ABC的最大面积？”

第二问中，我们依然要根据△ABC的三个顶点分别为直角顶点来进行分类，其次，要根据题意表示出三边“AC=1，AB=x，BC=3-x”，最后根据勾股定理列式求解即可，需要注意的是要对求解结果进行验证，舍去不合题意的值（详解见文后）。

以一般几何图形为背景的直角三角形问题相对简单一些，但是对学生的计算能力要求较高．总之，这类问题仍要根据直角确定分类标准；然后，根据题意用含字母参数的代数式表示出三角形各边；最后，按照勾股定理进行求值并验证即可。

综上所述，对于直角三角形存在性问题学生首先要做到分类明确，根据题目背景的不同选择合适的计算方法求出符合题意的点坐标或字母值。

文中相关题目详解：

（2012•云南23）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-1/3 x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=-1/2 x^2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式（关系式）；

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

第三问：①当点M在x轴上，且BM⊥AB，

设M（m，0），则MD=11/3-m

∵BM⊥BP， BD⊥x轴，易知Rt△PDB∽Rt△BDM，

∴BD/MD=PD/BD，即(7/9)/(11/3 -m)=(7/3)/(7/9 )，解得m=92/27

∴此时M点的坐标为（92/27，0）

②当点M在x轴上，且BM⊥AM时，

设M（m，0），则MD=11/3-m,

∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，

∴AO/MD=OM/BD，即m/(7/9)=2/(11/3 -m)，

解得m1=(11+√65)/6，m2=(11-√65)/6

∴此时M点的坐标为（(11+√65)/6，0）或（(11-√65)/6，0）

③当点M在y轴上，且BM⊥AM时，易求得此时

M点坐标为（0，7/9）

④当点M在y轴上，且BM′⊥AB时，设M′（0，m），

则AM=2-7/9=11/9，BM=11/3，MM′=7/9-m

易知Rt△ABM∽Rt△BM′M，

∴AM/BM=BM/MM'，即(11/9)/(11/3)=(11/3)/(7/9 "-" m)，解得m=-92/9，

∴此时M′点的坐标为（0，-92/9）

综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，符合条件的点M有5个，其坐标分别是（92/27，0）、（(11+√65)/6，0）、（(11-√65)/6，0）、（0，7/9）或（0，-92/9）。

小编寄语：不知大家掌握得怎样？可以收藏下来好好琢磨哦！把题目琢磨透了，方法理解了，以后考试就不慌了！

新东方广州学校官方咨询微信：小小新：（微信号：gzxdfsc）

了解更多优惠活动、课程安排，欢迎添加我们的微信号【gzxdfsc】，
这里将随时有顾问提供专业课程咨询和优惠发送，感谢您对新东方的支持。

焦点推荐

版权及免责声明

① 凡本网注明"稿件来源：新东方"的所有文字、图片和音视频稿件，版权均属新东方教育科技集团（含本网和新东方网）所有，任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转贴或以其他任何方式复制、发表。已经本网协议授权的媒体、网站，在下载使用时必须注明"稿件来源：新东方"，违者本网将依法追究法律责任。

② 本网未注明"稿件来源：新东方"的文/图等稿件均为转载稿，本网转载仅基于传递更多信息之目的，并不意味着赞同转载稿的观点或证实其内容的真实性。如其他媒体、网站或个人从本网下载使用，必须保留本网注明的"稿件来源"，并自负版权等法律责任。如擅自篡改为"稿件来源：新东方"，本网将依法追究法律责任。

③ 如本网转载稿涉及版权等问题，请作者见稿后在两周内速来电与新东方网联系，电话：010-60908555。