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 ——之利用轴对称、平移性质求线段和最小值专题

小新说：“很多同学在遇到最短路径问题的时候都会目瞪口呆，心想：‘我怎么知道哪条路最短啊！’所以，今天的数学小课堂就来教同学们利用轴对称轻松找到最短路径！”

课题来源

——《最短路径问题》

适宜人群

初二及初三的同学们

小轰，单身27年，习惯一个人生活、吃饭和思考问题，直到有一天，拾获一只流浪狗，生活有了一些变化，因为总是会一不小心被狗狗给坑了，所以决定给狗狗取名“小坑”，于是，他们就过起了两只“狗”的生活···

（1）单动点求线段和最短模型

没过几天，小轰一直暗恋的女神知道他养了狗，要约他一起去遛狗，小轰顿时心花怒放！！！狗子！狗子！女神要看狗子！小轰牛哄哄地带上他的狗子出门了！正走在路上，突然，狗子终究是狗子，狗子说：汪汪汪！小轰就知道它想“嘘嘘”。关键时刻，一定坑爹！问题小坑嘘嘘还必须在挨着墙，不然就一直闹。小轰记得不远处有一堵墙，但怎么走路线才是最短，才能最快见到女神呢？

机智的小轰在脑海中迅速建模如下图1：设自己所在点为A，女神所在点为B，问题可简化成在直线l（即墙边）上找一点P，使得PA+PB的和最小，此问题只需利用轴对称性质即可解题，步骤如下：

①作A关于l的对称点A’；②连接A’B；③A’B与直线l交点即为P点

此时PA+PB=PA’+PB，因为A’、P、B三点共线，A’到B两点间线段最短。

图1    ①   

②    ③ 

果然，小轰的模型完美解决问题，准时赴约，和女神一起愉快地遛狗狗了~~~你也试一下这个模型吧！

【例1】 如图，A、B两个电话分机到电话线l的距离分别是3m，5m，CD=6m，若由l上一点分别向A、B连电话线，最短应为（　　）

A．8m    B．9m       C．10m     D．11m

【考点】轴对称﹣最短路线问题．版权所有

【解答】解：如图所示：作A点关于直线l的对称点A′，延长BD，作A′E⊥BD于点E，

A，B两个电话机离电话线l的距离分别是3米，5米，CD=6米，

可得：DE=3m，A′E=6m，BE=BD+DE=5+3=8（m），PA′=AP，

∴PA+PB最短为A′B==10（m）．

故选：C．

【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，正确使用最短路劲模型是解题关键．

牛刀小试1： 如图，铁路上A、B两站相距25千米，C、D两村庄视为两点，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在铁路AB上修一个土特产品收购站E，收购站E到C、D两村庄的距离和最小值为（　　）

A．25千米     B．10千米     C．25千米      D．5千米

注：牛刀小试参考解答在最后。

（2）双动点求线段和最短模型

几天后，女神突然又找到小轰。

“小轰啊~我有个不情之请，你可以来我家一趟吗…”

“当然可以呀，需要帮什么忙尽管说…”内心窃喜中…

“有点难为情，你先答应我好吗…”

“没问题啊！我答应你”

“那你先来我家吧~~记得带上狗狗哦”

小轰喜出望外，拉着狗子又一顿飞跑到女神家，一口气飞上六楼，按下门铃，女神开了门，会心的一笑，往房间指了指，小轰瞬间思绪飞扬~~~顿时抽了自己一下，回过神来。

“这样不好吧···”

“你先进去嘛···”

进入房间后发现里面有一个大箱子，原来女神是要他帮忙寄快递，又大又沉的一箱，废了九牛二虎之力才搬到楼下。快递点在院子另一侧，女神决定先去门口打的，小轰独自带狗狗去寄快递，刚走一会儿，果然！狗子终究是狗子！又要嘘嘘了！

小轰又被“坑爹”了，但机智的小轰又再一次迅速建模，如下图2：设自己所在点为A，女神所在门口点为B，可以嘘嘘的墙和寄快递所在点为两条边（即直线m、l），问题可简化为在m和l上分别找一点M、N，使得AM+MN+BN的和最短。

仍然可以利用轴对称性质，找出三条线段和最短的位置，步骤如下：①分别作A和B关于m、l的对称点A’和B’；②连接A’B’; ③此时AM+MN+BN=A’B+MN+B’N，且A’、M、N、B’四点共线，A’到B’距离和最短，与m和l所交点为所求M、N点。

图2  ①  

②    ③

通过小轰的模型又走出了最短的路线，快速解决了狗狗的需要和寄完快递后，又和女神又愉快地约会去了···你也试一下这个双动点模型吧！

【例2】 如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是________．

【考点】轴对称﹣最短路线问题．所有

【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠DAB=120°， ∴∠HAA′=60°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，

故答案为：120°．

【点评】此题主要考查了平面内双动点最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．

牛刀小试2： 如图，在直角坐标系中，A（﹣3，﹣1），B（﹣1，﹣3），若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是_____．

（3）含定线段求线段和最值

通过最近的接触，女神和小轰的感情，哦不，是和小轰的狗狗感情越来越深厚了！一天，女神很兴奋地和小轰说，帮狗狗报名了一个竞速比赛，小轰也很兴奋地同意参加比赛。很快到了比赛当天，竞速规则也出来了，狗狗必须从指定出发点出发，中间选择一条赛道游过一个游泳池，再奔跑到终点即可获胜。狗狗可以选择用泳池的任一赛道（赛道垂直于泳池两边，宽度固定），但不得跨越其他赛道。

怎样才能选择最短的路线呢？数学思维突出的小轰又再次迅速建模，如下图3：问题可简化为从A点出发，中间经过一条定线段d，再到达终点B，关键是在泳池两边选择动点M、N，且MN=d（定长），使得AM+MN+BN的线段和最短。

图3    

这个问题可通过构造平行四边形解决问题：

①作线段AC∥MN,且长度AC=MN，②连接CB与直线b交于点N，③过N点作MN垂直直线a、b，此时AM+MN+BN=AC+CN+BN，AC为定长d，CN+BN两点间线段最短，所以AM+MN+BN的和最短，M、N为所求点。

①②③

你也来挑战一下这个含定线段的最值模型吧。

【例3】 在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=3．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是（　　）

A．（，0）        B．（1，0）      C．（，0）      D．（2，0）

【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．

【分析】以D、E、F为顶点作平行四边形DEFD′，作出点B关于x轴对称点B′，则易得到B′的坐标，D′的坐标，然后利用待定系数法求出直线D′B′的解析式，令y=0，确定F点坐标，也即可得到E点坐标．

【解答】解：以D、E、F为顶点作平行四边形DEFD′，作出点B关于x轴对称点B′，如图，

∵B（6，4），

∴B′的坐标为（6，﹣4），

∵DD′=EF=3，D（0，2），

∴D′的坐标为（3，2），

设直线D′B′的解析式为y=kx+b，

把B′（6，﹣4），D′（3，2）代入得，

，

解得k=﹣2，b=8，

∴直线D′B′的解析式为y=﹣2x+8，

令y=0，得﹣2x+8=0，解得x=4，

∴F（4，0），E（1，0）．

【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．

牛刀小试3： 如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），

D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为_______．

“小坑”在小轰的策略指导下，选择了最短的路线，终于第一个冲过终点！“小坑”这一次终于不再坑了！（泪流满面〒▽〒··）当“小坑”冲过终点时，小轰兴奋地跳了起来，不自觉的抱了一下女神，女神也害羞地推开他，红了脸···

然而，正当两人准备迎接冠军的喜悦时，狗子终究是狗子！！大会重新检查了泳池，发现“小坑”在泳池里又“嘘嘘”了，污染了泳池，被大会取消了冠军！！！并惩罚小轰帮忙泳池清洁工作。一下子从天堂掉落地狱，小轰心情非常失落~~~

就在此时！女神突然轻轻地亲了一下小轰的脸颊！！！

“没关系，我陪你一起清洁~~~~”

那一刻，阳光顿时明媚了起来~~~

听完老师精彩的讲解，大家是不是一下子恍然大悟呢？

记得还要做老师布置的题目哦！

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