抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。

解：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足

从而函数f（x）的定义域是［1，4］

例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得

所以函数的定义域是

【磊哥点评】以上两题的题目类型恰恰相反，正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这里要记住，定义域永远指的x的取值范围。

二、求值问题

例3. 已知定义域为的函数f（x），同时满足下列条件：①；②，求f（3），f（9）的值。

解：取，得

因为，所以

又取

得

【磊哥点评】此类问题要注意赋值运算，有效地赋值可以事半功倍的解决问题。但是赋值技巧需要同学们经常练习一些题目找寻到适合自己的赋值技巧。本题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题

例4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解：令，得，即有或。

若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。

由于对任意均成立，因此，对任意，有

下面来证明，对任意

设存在，使得，则

这与上面已证的矛盾，因此，对任意

所以

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题

例5. 设对满足的所有实数x，函数满足，求f（x）的解析式。

解：在中以代换其中x，得：

再在（1）中以代换x，得

化简得：

【磊哥点评】本题和我们熟悉的一类题非常相像，但是要注意本题转化了两次，而之前的题目都是转化一次。如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题

例6. 设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。

证明：在中取，得

若，令，则，与矛盾

所以，即有

当时，；当时，

而

所以

又当时，

所以对任意，恒有

设，则

所以

所以在R上为增函数。

【磊哥点评】本题是抽象函数单调性的模板，记住题目，可以解各种类型。

六、奇偶性问题

例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f（x）的奇偶性。

解：取得：，所以

又取得：，所以

再取则，即

因为为非零函数，所以为偶函数。

七、对称性问题

例8. 已知函数满足，求的值。

解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。

所以

将上式中的x用代换，得

【磊哥点评】若，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。

八、网络综合问题

例9. 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f（x）<1。

（1）判断f（x）的单调性；

（2）设，

，若，试确定a的取值范围。

解：（1）在中，令，得，因为，所以。

在中，令

因为当时，

所以当时

而

所以

又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。

设，则

所以

所以在R上为减函数。

（2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以

即有

又，根据函数的单调性，有

由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解得。

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f（0）的取值问题，二是f（x）>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。